Schur Complement|keggin's blog

舒尔补(Schur Complement)是线性代数中的一个重要工具，尤其在处理复杂的分块矩阵时，能大大简化计算过程。它本质上是一种通过分解矩阵的结构来简化问题的技巧。在面对一个较大的矩阵时，如果我们将其拆解为更小的块，每个块都承载着矩阵的一部分信息，而舒尔补正是帮助我们从这些子矩阵中提取有用信息的一种方法。

在具体的应用中，舒尔补能够将一个涉及大矩阵的问题转化为一个较小的子问题。比如，求解一个大规模的线性方程组时，通过舒尔补可以将问题分解成多个较小的方程组，进而避免了直接求解原矩阵的高昂计算成本。此外，舒尔补还广泛应用于计算矩阵的逆、特征值、最优化问题等领域。

舒尔补的定义

给定任意的矩阵块 \mathbf{M}，如下所示:

M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}

如果，矩阵块 \mathrm{D}是可逆的，则 \mathrm{A}-\mathrm{BD}^{-1} \mathrm{C}称之为 \mathrm{D}关于\mathbf{M}的舒尔补。

如果，矩阵块\mathbf{A} 是可逆的，则 \mathrm{D}-\mathrm{CA}^{-1} \mathrm{~B}称之为\mathbf{A} 关于\mathbf{M} 的舒尔补。

（只对可逆矩阵的维度存在限制）

舒尔补的推导

将\mathbf{M}矩阵分别变成上三角或者下三角形：

\left[ \begin{array}{cc} E & 0 \\ -CA^{-1} & E \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & \Delta_A \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} E & 0 \\ -A^{-1}B & E \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A & 0 \\ C & \Delta_A \end{array} \right]

其中：\Delta_{\mathrm{A}}=\mathrm{D}-\mathbf{C A}^{-1} \mathbf{B}。因此我们在矩阵\mathbf{M}两边左乘左边因子，右乘右边因子。联合起来，将\mathbf{M}变形成对角形:

\left[ \begin{array}{cc} E & 0 \\ -CA^{-1} & E \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} E & 0 \\ 0 & E \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & \Delta_A \end{array} \right]

同理，反过来，我们又能从对角形恢复成矩阵:

\begin{bmatrix} \mathrm{E} & 0 \\ \mathrm{C}\mathrm{A}^{-1} & \mathrm{E} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{A} & 0 \\ 0 & \mathrm{A} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{E} & \mathrm{A}^{-1}\mathrm{B} \\ 0 & \mathrm{E} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathrm{A} & \mathrm{B} \\ \mathrm{C} & \mathrm{D} \end{bmatrix}

舒尔补的结构:若\mathbf{A}是可逆的，那么舒尔补中必然含有\mathbf{A}的逆矩阵。且舒尔补为\mathbf{D}(\mathbf{A}的对角线矩阵)-\mathbf{C}(与\mathbf{A}同列)*\mathbf{A^{-1}}*\mathbf{B}(与A同行的矩阵)。